td6 de physike

TD n°6
Mar 15 Décembre 2009, 13 h 39 min 41 sDe : Rabiaa Lotfi <rabiaalotfi@yahoo.fr> Voir le contact
À : rabiaalotfi@yahoo.fr


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UNIVERSITE HASSAN II MOHAMMEDIA
Faculté des sciences et techniques
Section: BCG Travaux dirigés de mécanique





Exercice 1:







On étudie le système suivant :





On désire déterminer l'équation différentielle vérifiée par l'angle q de différentes manières :

1. Application de la relation fondamentale de la dynamique du point matériel.

2. Application du théorème du moment cinétique.

3. Déterminer l'équation horaire vérifiée par q dans le cas de petites oscillations.







Exercice 2:







Dans une molécule diatomique, l'énergie potentielle d'interaction entre les deux atomes est donnée par la formule de Morse :



où A et a sont des constantes, r la distance entre les deux atomes à un instant donné et ro la distance à l'équilibre.

1. Calculer la force de rappel f (r) qui s'exerce entre les deux atomes.

2. On note x = (r - ro) l'écart à l'équilibre et la masse réduite de la molécule. Montrer que la force de rappel est proportionnelle à x lorsque x est petit (ax << 1) .

Quelle est alors la fréquence de vibration de la molécule quand on l'écarte légèrement de sa position d'équilibre ?







Exercice 3:

On considère deux particules de masses respectives repérées, dans un référentiel galiléen d'origine O, par les vecteurs et .
Nous supposons que ces deux particules sont "seules dans l'espace" c'est à dire qu'elles forment un système isolé. Il y a donc interaction entre ces deux particules et nous limitons l'étude au cas où cette interaction peut être traduite par une fonction scalaire dépendant de la seule distance r entre les particules soit . Cette fonction est appelée énergie potentielle d'interaction des deux particules.

1) Montrer que les forces qui agissent sur chacune des particules obéissent au principe de l'action et de la réaction.

2) Écrire une intégrale première du mouvement.

3) Montrer que le référentiel barycentrique d'origine G des deux particules est galiléen. En déduire que le problème se ramène à la résolution d'un problème à un mobile dont on déterminera la masse appelée masse réduite.
On étudiera le cas particulier .

4)a) Calculer dans le référentiel barycentrique l'énergie mécanique et le moment cinétique de l'ensemble des deux particules.
Montrer que l'étude se réduit à celui du mouvement de la masse réduite dans un référentiel d'origine .
4)b) A partir du théorème du moment cinétique, montrer que le mouvement s'effectue dans un plan (on montrera que le moment cinétique est un vecteur constant que l'on notera où est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan où s'effectue le mouvement).


5) Pour la suite du problème, on se placera dans le référentiel barycentrique, les masses seront notées , les points seront notés O et P.
On pose où est le vecteur unitaire de .
On étudie dans le référentiel d'origine O, de base orthonormée directe , en coordonnées polaires planes , le mouvement du mobile fictif de masse.
5)a) Écrire le moment cinétique et l'énergie mécanique du mobile fictif. Quel nom donne t’on à la relation ?
En déduire l'équation différentielle du mouvement.
5)b) Trouver l'équation différentielle ci-dessus à partir du principe fondamental de la dynamique.
Pour les questions 5)a) et 5)b) on utilisera implicitement ou explicitement les formules de Binet.